Introduzione
La fisica del nucleo atomico
Questo percorso studia il cuore dell'atomo: quella regione centrale, centomila volte più piccola dell'atomo stesso, dove risiede quasi tutta la massa e da cui provengono i fenomeni della radioattività, la fissione e la fusione. È un ambito in cui una manciata di leggi fisiche essenziali spiega tanto le stelle quanto la medicina diagnostica, tanto la datazione di un reperto quanto la produzione di energia.
Un obiettivo di metodo, oltre che di contenuto
La fisica nucleare è spesso caricata di timori che nascono fuori dall'aula: centrali, scorie, radiazioni. Qui manteniamo un registro scientifico sobrio, tenendo sempre distinto il fenomeno fisico — un nucleo che decade, si spezza o si fonde — dalle sue implicazioni sociali, mediche o mediatiche. L'obiettivo non è né minimizzare né allarmare, ma fornire gli strumenti quantitativi per ragionare con i numeri alla mano.
Come è organizzato il percorso
Il programma è diviso in cinque moduli tematici, più un quiz finale di riepilogo. Ogni modulo è indipendente e contiene sempre le stesse quattro schede: Teoria (spiegazioni e formule), Simulazioni (esperimenti numerici interattivi su canvas), Esercizi guidati con suggerimenti progressivi e verifica immediata, e un Quiz del modulo con correzione immediata.
Struttura del nucleo
Protoni e neutroni, numero atomico e di massa, isotopi, dimensioni nucleari e interazione forte.
Energia di legame
Difetto di massa, energia di legame per nucleone, curva di stabilità e perché il ferro è il nucleo più stabile.
Radioattività
Decadimenti α, β e γ, leggi di conservazione, legge del decadimento, attività e serie naturali.
Fissione e fusione
Meccanismo della fissione, reazione a catena e massa critica; fusione nelle stelle e sulla Terra.
Applicazioni
Reattori, medicina nucleare, datazione al carbonio-14, dosimetria e rischi delle radiazioni.
Riepilogo generale
Verifica su tutto il programma: la correzione e il punteggio compaiono solo al termine.
Come usare l'applicazione
Le schede in alto selezionano il modulo; le pillole sotto il titolo scelgono Teoria, Simulazioni, Esercizi o Quiz. Conviene seguire l'ordine dei moduli, ma nulla vieta di esplorare liberamente. Nelle simulazioni i cursori e i pulsanti aggiornano il modello in tempo reale; negli esercizi i suggerimenti vanno usati solo dopo aver provato da soli. In alto a destra il pulsante commuta fra modalità giorno e notte.
Breve storia della fisica nucleare
La fisica nucleare nasce a cavallo fra Ottocento e Novecento e si sviluppa in poco più di mezzo secolo, intrecciando scoperte sperimentali e nuove idee teoriche. Ecco le tappe che incontrerai lungo il percorso.
Poco più di mezzo secolo dalla scoperta della radioattività alle prime reazioni di fusione controllate.
- 1896 — Henri Becquerel scopre casualmente che i sali di uranio emettono una radiazione capace di impressionare una lastra fotografica al buio: è la prima manifestazione della radioattività naturale.
- 1898 — Marie e Pierre Curie isolano il polonio e il radio e coniano il termine radioattività, mostrando che si tratta di una proprietà di certi elementi e non di una reazione chimica.
- 1911 — Ernest Rutherford, interpretando l'esperimento di Geiger e Marsden, dimostra che la carica positiva e quasi tutta la massa dell'atomo sono concentrate in un nucleo minuscolo.
- 1932 — James Chadwick scopre il neutrone, completando il quadro dei costituenti del nucleo e aprendo la strada allo studio delle reazioni nucleari.
- 1934 — Enrico Fermi mostra che i neutroni lenti sono particelle ideali per innescare reazioni nucleari, gettando le basi della fisica dei reattori.
- 1938 — Otto Hahn e Fritz Strassmann, con l'interpretazione teorica di Lise Meitner e Otto Frisch, scoprono la fissione nucleare: un nucleo pesante si spezza in due frammenti liberando energia.
- 1942 — Enrico Fermi realizza a Chicago la prima reazione a catena controllata e autosostenuta.
- anni '50 — vengono realizzate le prime reazioni di fusione termonucleare e nasce la ricerca, tuttora in corso, sulla fusione controllata a scopo energetico.
Le tre idee che tengono insieme tutto
Nonostante la varietà dei fenomeni, il percorso ruota attorno a tre concetti che ritroverai in ogni modulo: l'interazione forte, che tiene insieme il nucleo; l'equivalenza massa-energia \(E=mc^2\), che spiega da dove viene l'energia nucleare; e il carattere probabilistico dei processi nucleari, che governa la legge del decadimento. Tienili a mente: sono il filo conduttore di tutto ciò che segue.
La struttura del nucleo atomico
Tutta la massa dell'atomo, a meno di circa lo 0,05%, è concentrata in una regione centrale il cui raggio è circa diecimila volte più piccolo di quello dell'atomo. Capire come questa regione tiene insieme cariche elettriche dello stesso segno è il punto di partenza della fisica nucleare.
1.1 Dai raggi alfa di Rutherford al nucleo
Nel 1911 l'esperimento di Geiger e Marsden, interpretato da Rutherford, mostrò che una piccola frazione di particelle alfa inviate su una sottile lamina d'oro veniva deviata di angoli grandissimi, alcune addirittura all'indietro. Un modello a carica diffusa (il modello "a panettone" di Thomson) non poteva produrre urti così violenti: era necessario ammettere che la carica positiva e quasi tutta la massa fossero concentrate in un volume estremamente piccolo, il nucleo.
Le dimensioni nucleari si esprimono in femtometri (o fermi): \(1\ \mathrm{fm}=10^{-15}\ \mathrm{m}\). Sperimentalmente il raggio del nucleo cresce con la radice cubica del numero di massa:
Poiché il volume è proporzionale a \(R^3 \propto A\), la densità nucleare è praticamente la stessa per tutti i nuclei: circa \(2{,}3\cdot 10^{17}\ \mathrm{kg/m^3}\). Un centimetro cubo di materia nucleare pura avrebbe una massa di oltre duecento milioni di tonnellate. Questa costanza della densità suggerisce che i nucleoni si comportino come sfere incomprimibili a contatto, un po' come le molecole di un liquido.
1.2 Nucleoni, Z, A, notazione dei nuclidi
Il nucleo è costituito da due tipi di particelle, chiamate collettivamente nucleoni:
| Particella | Carica | Massa (kg) | Massa (u) | Massa (MeV/c²) |
|---|---|---|---|---|
| protone (p) | \(+e = +1{,}602\cdot10^{-19}\) C | \(1{,}6726\cdot10^{-27}\) | 1,007276 | 938,27 |
| neutrone (n) | 0 | \(1{,}6749\cdot10^{-27}\) | 1,008665 | 939,57 |
| elettrone (e⁻) | \(-e\) | \(9{,}109\cdot10^{-31}\) | 0,000549 | 0,511 |
L'unità di massa atomica u è definita come un dodicesimo della massa dell'atomo neutro di carbonio-12: \(1\ \mathrm{u}=1{,}66054\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg}\). Grazie alla relazione di Einstein \(E=mc^2\), a essa corrisponde l'energia
che useremo continuamente nei calcoli di energia di legame.
I due numeri che identificano un nucleo
- Numero atomico \(Z\): numero di protoni. Determina la specie chimica, perché nell'atomo neutro fissa anche il numero di elettroni.
- Numero di massa \(A\): numero totale di nucleoni, \(A = Z + N\), dove \(N\) è il numero di neutroni.
Un nucleo specifico si dice nuclide e si scrive \(^{A}_{Z}\mathrm{X}\). Ad esempio \(^{238}_{\ 92}\mathrm{U}\) ha 92 protoni e \(238-92 = 146\) neutroni.
Composizione e notazione simbolica di un nuclide.
1.3 Isotopi, isobari, isotoni
Nuclei con lo stesso \(Z\) ma diverso \(N\) si dicono isotopi: sono lo stesso elemento chimico, hanno identiche proprietà chimiche (dipendono dagli elettroni) ma proprietà nucleari molto diverse. L'idrogeno ne offre l'esempio più semplice:
- \(^{1}_{1}\mathrm{H}\) — prozio, un solo protone; è oltre il 99,98% dell'idrogeno naturale;
- \(^{2}_{1}\mathrm{H}\) — deuterio, stabile, un protone e un neutrone;
- \(^{3}_{1}\mathrm{H}\) — trizio, radioattivo, con tempo di dimezzamento di 12,3 anni.
Si chiamano invece isobari nuclei con lo stesso \(A\) e diverso \(Z\) (come \(^{40}_{18}\mathrm{Ar}\) e \(^{40}_{20}\mathrm{Ca}\)), e isotoni nuclei con lo stesso \(N\). La massa atomica che leggiamo sulla tavola periodica è la media delle masse isotopiche pesata sulle abbondanze naturali: per il cloro, il valore 35,45 u nasce dalla miscela di circa il 75,8% di \(^{35}\mathrm{Cl}\) e 24,2% di \(^{37}\mathrm{Cl}\).
1.4 L'interazione nucleare forte
Due protoni a distanza di 2 fm si respingono con una forza coulombiana di circa 58 N: enorme, per oggetti di massa \(10^{-27}\) kg. Se agisse solo l'elettromagnetismo, nessun nucleo con \(Z>1\) potrebbe esistere. Deve dunque esistere una interazione nucleare forte attrattiva, molto più intensa, che agisce tra i nucleoni.
Le sue caratteristiche essenziali, ricavate dagli esperimenti di diffusione nucleone-nucleone, sono:
- Intensità: a parità di distanza è circa 100 volte più intensa della repulsione elettrostatica tra due protoni.
- Corto raggio d'azione: è praticamente nulla oltre i 2,5–3 fm, mentre la forza elettrica decresce lentamente come \(1/r^2\) e agisce su tutto il nucleo.
- Indipendenza dalla carica: agisce allo stesso modo tra p-p, n-n e p-n. Non "vede" la carica elettrica.
- Repulsiva a distanze molto piccole: sotto circa 0,5 fm diventa fortemente repulsiva, e questo impedisce al nucleo di collassare, spiegando la densità costante.
- Saturazione: ogni nucleone interagisce solo con i vicini immediati, non con tutti gli altri.
Andamento qualitativo dell'energia potenziale fra due nucleoni.
1.5 Perché i nuclei pesanti hanno più neutroni che protoni
Nei nuclei leggeri il numero di protoni e neutroni è quasi uguale (\(^{12}\mathrm{C}\), \(^{16}\mathrm{O}\), \(^{40}\mathrm{Ca}\) hanno \(N=Z\)). Al crescere di \(A\), invece, il rapporto \(N/Z\) sale fino a circa 1,5 (\(^{238}\mathrm{U}\) ha 92 protoni e 146 neutroni). La ragione è nel diverso raggio d'azione delle due forze: la repulsione coulombiana coinvolge tutte le coppie di protoni e cresce come \(Z^2\), mentre l'attrazione forte, per la saturazione, cresce solo come \(A\). Aggiungere neutroni permette di aumentare l'attrazione senza aggiungere repulsione: è un modo per "diluire" la carica.
Questo meccanismo però ha un limite. Oltre \(Z=83\) (bismuto) non esistono nuclidi stabili: tutti i nuclei più pesanti sono radioattivi. L'insieme dei nuclidi stabili disegna, nel piano \((N,Z)\), la cosiddetta valle di stabilità, che vedremo nella simulazione della tabella dei nuclidi.
Da ricordare
- \(R \simeq 1{,}2\,A^{1/3}\) fm; densità nucleare praticamente costante.
- \(A = Z+N\); gli isotopi differiscono per \(N\) a parità di \(Z\).
- L'interazione forte è intensa, a corto raggio, indipendente dalla carica e satura.
- Il rapporto \(N/Z\) passa da 1 nei nuclei leggeri a ~1,5 in quelli pesanti.
Energia di legame nucleare
Se pesiamo un nucleo troviamo sempre una massa minore della somma delle masse dei nucleoni che lo compongono. Questa differenza, apparentemente paradossale, è la chiave quantitativa di tutta la fisica nucleare: dice quanta energia è stata liberata nel formare il nucleo e quanta ne servirebbe per smontarlo.
2.1 Il difetto di massa
Consideriamo il nucleo di elio-4, formato da 2 protoni e 2 neutroni. Sommando le masse dei costituenti liberi:
La massa misurata del nucleo di elio-4 è però 4,001506 u. Manca qualcosa:
La quantità \(\Delta m\) si chiama difetto di massa. Non si tratta di massa "scomparsa": quando i quattro nucleoni si sono legati, il sistema ha ceduto energia all'esterno, e per la relazione di equivalenza massa-energia una perdita di energia corrisponde a una perdita di massa.
Attenzione alle masse atomiche
Le tabelle riportano quasi sempre le masse atomiche (nucleo + elettroni). Se si usano quelle, occorre sostituire \(m_p\) con la massa dell'atomo di idrogeno \(m_{^1\mathrm{H}} = 1{,}007825\) u e usare la massa atomica del nuclide: gli elettroni si semplificano automaticamente. Il risultato numerico per l'energia di legame è lo stesso (a meno dell'energia di legame elettronica, trascurabile).
2.2 Energia di legame
L'energia di legame \(E_\ell\) è l'energia equivalente al difetto di massa:
Per l'elio-4: \(E_\ell = 0{,}030376 \times 931{,}494 = 28{,}30\ \mathrm{MeV}\). Il significato fisico è duplice e va tenuto ben distinto:
- è l'energia liberata quando i nucleoni separati si uniscono a formare il nucleo;
- è l'energia necessaria per separare completamente il nucleo nei suoi nucleoni liberi.
Per confronto, l'energia di legame dell'elettrone nell'atomo di idrogeno è 13,6 eV: circa due milioni di volte più piccola. È esattamente questo il motivo per cui le reazioni nucleari liberano energie milioni di volte superiori a quelle chimiche, a parità di massa di combustibile.
2.3 Energia di legame per nucleone e curva di stabilità
Per confrontare nuclei diversi non conta \(E_\ell\) in sé (cresce banalmente con il numero di nucleoni) ma l'energia di legame per nucleone:
che misura quanto è "solidamente" legato ciascun nucleone. Per l'elio-4 vale \(28{,}30/4 = 7{,}07\) MeV/nucleone. Riportandola in funzione di \(A\) per tutti i nuclidi si ottiene una delle curve più importanti della fisica.
Energia di legame per nucleone: entrambe le frecce puntano verso il massimo, dove la materia è più stabile.
2.4 Come si legge la curva
- Crescita ripida iniziale (\(A < 20\)): nei nuclei piccolissimi quasi tutti i nucleoni stanno "in superficie" e hanno pochi vicini con cui legarsi. Aggiungendo nucleoni il legame medio migliora rapidamente.
- Picchi anomali: \(^{4}\mathrm{He}\), \(^{12}\mathrm{C}\), \(^{16}\mathrm{O}\) stanno visibilmente sopra i vicini. Sono nuclei con numeri pari e uguali di protoni e neutroni, particolarmente compatti. L'elio-4 è così legato da essere emesso "in blocco" nel decadimento alfa.
- Massimo attorno ad \(A \approx 56\div62\): la regione del ferro e del nichel, con circa 8,8 MeV per nucleone.
- Lenta discesa per \(A\) grandi: la repulsione coulombiana, che cresce come \(Z^2\), erode progressivamente il legame. A \(A=238\) siamo scesi a 7,57 MeV/nucleone.
Perché il ferro è il nucleo più stabile
Il legame nucleare risulta da una competizione fra due effetti opposti. L'attrazione forte è a corto raggio e satura: ogni nucleone lega solo i vicini, quindi il contributo attrattivo cresce all'incirca come \(A\), e il legame per nucleone tende a un valore costante. La repulsione elettrica, invece, agisce fra tutte le coppie di protoni e cresce come \(Z(Z-1)\), cioè molto più che linearmente, sottraendo un contributo che pesa sempre di più al crescere della dimensione.
Finché il nucleo è piccolo domina il primo effetto (i nucleoni "guadagnano vicini") e \(E_\ell/A\) cresce; quando il nucleo diventa grande domina il secondo e \(E_\ell/A\) cala. Il punto di equilibrio cade attorno ad \(A\approx56\div62\): lì il nucleone è legato più saldamente che in qualsiasi altra configurazione della materia. Nuclidi come \(^{56}\mathrm{Fe}\) e \(^{62}\mathrm{Ni}\) rappresentano quindi il fondo del "pozzo energetico" nucleare.
Conseguenza fondamentale: si libera energia solo muovendosi verso il massimo. Nuclei leggeri possono fondersi (fusione), nuclei pesanti possono spezzarsi (fissione). Dal ferro, in nessuna delle due direzioni si guadagna energia: per questo la fusione nelle stelle si arresta al gruppo del ferro, e gli elementi più pesanti si formano solo in eventi che forniscono energia, come le supernovae e le fusioni di stelle di neutroni.
2.5 Un calcolo di riferimento
Confrontiamo il "guadagno" energetico dei due processi, ragionando sempre per nucleone.
| Processo | Variazione di E/A | Energia liberata | Per nucleone |
|---|---|---|---|
| Fissione di \(^{235}\mathrm{U}\) | da ~7,6 a ~8,5 MeV | ~200 MeV | ~0,85 MeV |
| Fusione D + T | da ~2,8 a ~7,0 MeV | 17,6 MeV | ~3,5 MeV |
| Combustione del carbonio (chimica) | — | 4,1 eV per molecola | ~\(3\cdot10^{-7}\) MeV |
La fusione è, per unità di massa, circa quattro volte più conveniente della fissione; entrambe superano di sei o sette ordini di grandezza qualunque reazione chimica. Questo è il dato fisico oggettivo, indipendente dalle valutazioni tecnologiche o economiche sulle diverse forme di produzione dell'energia.
Radioattività
Un nucleo instabile si trasforma spontaneamente in uno più stabile emettendo particelle o radiazione elettromagnetica. Il fenomeno è probabilistico: non si può prevedere quando un singolo nucleo decadrà, ma il comportamento di un insieme di nuclei segue una legge matematica esatta.
3.1 La scoperta e la natura del fenomeno
Nel 1896 Becquerel osservò che sali di uranio impressionavano una lastra fotografica al buio; Marie e Pierre Curie isolarono poi polonio e radio, coniando il termine radioattività. Rutherford distinse tre componenti in base al potere di penetrazione, chiamandole alfa, beta e gamma. Oggi sappiamo che si tratta rispettivamente di nuclei di elio, elettroni (o positroni) e fotoni di altissima energia.
Il punto concettuale decisivo è che il decadimento radioattivo è un processo spontaneo e casuale, non influenzabile da temperatura, pressione o legami chimici: dipende solo dalla struttura del nucleo. Ogni nucleo ha, in ogni istante, la stessa probabilità di decadere, indipendentemente da quanto tempo è già "vissuto".
3.2 Decadimento alfa
Il nucleo emette una particella alfa, cioè un nucleo di elio-4 (2 protoni + 2 neutroni):
Esempio classico: \(^{238}_{\ 92}\mathrm{U} \rightarrow ^{234}_{\ 90}\mathrm{Th} + \alpha\). Il numero atomico cala di 2, quello di massa di 4.
Avviene quasi esclusivamente nei nuclei pesanti (\(A > 200\) circa), dove la repulsione coulombiana è più forte. La particella alfa è emessa con energia tipica di 4–9 MeV, ben definita per ciascun nuclide (spettro discreto): questa è una prova diretta della quantizzazione dei livelli energetici nucleari. Classicamente la particella alfa non avrebbe energia sufficiente per superare la barriera di potenziale che la trattiene: esce per effetto tunnel, un fenomeno quantistico che spiega anche perché tempi di dimezzamento tanto diversi (dai microsecondi ai miliardi di anni) corrispondano a energie di emissione molto simili.
Essendo pesanti e doppiamente cariche, le alfa interagiscono moltissimo con la materia: perdono energia in pochi centimetri d'aria e sono fermate da un foglio di carta o dallo strato morto dell'epidermide. Sono quindi poco pericolose dall'esterno, ma molto efficaci nel cedere energia se la sorgente viene inalata o ingerita: è una distinzione tecnica importante in radioprotezione, non un motivo di allarme generico.
3.3 Decadimento beta
Il decadimento beta è governato dall'interazione nucleare debole e trasforma un nucleone nell'altro, lasciando \(A\) invariato.
Beta meno (β⁻)
Un neutrone si trasforma in protone, con emissione di un elettrone e di un antineutrino elettronico:
Esempio: \(^{14}_{\ 6}\mathrm{C} \rightarrow ^{14}_{\ 7}\mathrm{N} + e^- + \bar{\nu}_e\). Riguarda nuclei con troppi neutroni rispetto alla valle di stabilità. L'elettrone non preesiste nel nucleo: viene creato nell'istante del decadimento.
Beta più (β⁺)
Un protone si trasforma in neutrone, con emissione di un positrone (l'antiparticella dell'elettrone) e di un neutrino:
Esempio: \(^{22}_{11}\mathrm{Na} \rightarrow ^{22}_{10}\mathrm{Ne} + e^+ + \nu_e\). Riguarda nuclei con troppi protoni. Il protone libero non può decadere così (è più leggero del neutrone): il processo è possibile solo dentro il nucleo, dove l'energia di legame fornisce la differenza necessaria. Un processo alternativo e concorrente è la cattura elettronica, in cui il nucleo cattura un elettrone atomico interno: \(p + e^- \rightarrow n + \nu_e\), con lo stesso effetto sul numero atomico.
Il neutrino: una particella nata da un problema di conservazione
Gli elettroni beta escono con energie variabili, da zero fino a un massimo, mentre i livelli nucleari sono discreti. Se l'unica particella emessa fosse l'elettrone, l'energia non si conserverebbe. Nel 1930 Pauli ipotizzò una terza particella neutra, di massa piccolissima e quasi incapace di interagire, che si porta via la parte mancante di energia e di quantità di moto. Il neutrino fu rivelato sperimentalmente solo nel 1956: un esempio di come un principio di conservazione, preso sul serio, guidi la scoperta.
3.4 Decadimento gamma
Dopo un decadimento alfa o beta il nucleo figlio resta spesso in uno stato eccitato. Il ritorno allo stato fondamentale avviene emettendo un fotone gamma:
Qui \(Z\) e \(A\) non cambiano: non è una trasmutazione, ma una diseccitazione, l'analogo nucleare dell'emissione di luce da parte di un atomo eccitato. Le energie in gioco sono però nell'ordine dei MeV, un milione di volte maggiori. Il gamma è privo di massa e carica, quindi molto penetrante: per attenuarlo servono spessori considerevoli di piombo o calcestruzzo.
Schermatura tipica dei tre tipi di radiazione ionizzante.
3.5 Leggi di conservazione
Ogni reazione o decadimento nucleare deve rispettare simultaneamente:
- Numero di massa \(A\): la somma dei numeri di massa è la stessa prima e dopo.
- Carica elettrica (numero atomico \(Z\)): alla particella beta si assegna \(Z=-1\) per l'elettrone e \(Z=+1\) per il positrone.
- Energia totale, comprensiva delle energie di massa \(mc^2\).
- Quantità di moto: il nucleo figlio rincula sempre.
- Numero leptonico: giustifica l'antineutrino nel β⁻ e il neutrino nel β⁺.
| Decadimento | Particella emessa | ΔZ | ΔA | ΔN | Interazione |
|---|---|---|---|---|---|
| alfa | \(^4_2\mathrm{He}\) | −2 | −4 | −2 | forte + tunnel |
| beta meno | \(e^- + \bar\nu_e\) | +1 | 0 | −1 | debole |
| beta più | \(e^+ + \nu_e\) | −1 | 0 | +1 | debole |
| gamma | fotone \(\gamma\) | 0 | 0 | 0 | elettromagnetica |
3.6 La legge del decadimento radioattivo
Sia \(N\) il numero di nuclei non ancora decaduti a un certo istante. Poiché ogni nucleo ha la stessa probabilità di decadere nell'unità di tempo, il numero di decadimenti in un intervallo \(\mathrm{d}t\) è proporzionale a \(N\):
dove \(\lambda\) è la costante di decadimento (unità: s⁻¹), caratteristica del nuclide. Integrando si ottiene la legge del decadimento:
Il tempo di dimezzamento \(T_{1/2}\) è l'intervallo dopo il quale metà dei nuclei è decaduta. Imponendo \(N = N_0/2\):
È spesso comodo riscrivere la legge in base 2, forma molto pratica nei problemi:
Si definisce inoltre la vita media \(\tau = 1/\lambda = T_{1/2}/\ln 2 \approx 1{,}44\,T_{1/2}\): è il tempo di vita medio di un nucleo, e corrisponde al tempo dopo cui restano \(N_0/e \approx 37\%\) dei nuclei iniziali.
Un errore frequente
Dopo due tempi di dimezzamento non è decaduto "tutto": resta \(1/4\) del campione. Dopo tre, \(1/8\); dopo \(n\), \(1/2^n\). La curva si avvicina a zero senza mai raggiungerlo in un tempo finito: matematicamente il decadimento non "finisce" mai, praticamente dopo 10 dimezzamenti resta meno dello 0,1%.
3.7 Attività di un campione
L'attività \(A\) è il numero di decadimenti per unità di tempo:
L'attività decade quindi con la stessa legge esponenziale e con lo stesso tempo di dimezzamento del numero di nuclei. L'unità SI è il becquerel: 1 Bq = 1 decadimento al secondo. Si usa ancora il curie: 1 Ci = \(3{,}7\cdot10^{10}\) Bq, definito storicamente come l'attività di un grammo di radio-226.
Il becquerel è un'unità molto piccola: un essere umano adulto ha un'attività interna naturale di circa 4000–7000 Bq, dovuta soprattutto al potassio-40 e al carbonio-14 presenti nei tessuti. Un valore in Bq, da solo, non dice quindi nulla sulla pericolosità: occorre sapere di quale radionuclide si tratta, che tipo di radiazione emette e dove si trova.
Per calcolare \(N\) da una massa \(m\) di un nuclide di numero di massa \(A\) si usa il numero di Avogadro:
3.8 Le serie radioattive naturali
I nuclidi pesanti primordiali non raggiungono la stabilità in un solo passo, ma attraverso una catena di decadimenti successivi. Poiché il decadimento alfa cambia \(A\) di 4 e il beta non lo cambia, tutti i membri di una serie hanno numeri di massa congrui modulo 4. Esistono tre serie naturali, i cui capostipiti hanno tempi di dimezzamento confrontabili con l'età della Terra (4,5 miliardi di anni) e sono perciò ancora presenti:
| Serie | Capostipite | T1/2 del capostipite | Nuclide finale stabile | Classe di A |
|---|---|---|---|---|
| dell'uranio | \(^{238}\mathrm{U}\) | 4,47 miliardi di anni | \(^{206}\mathrm{Pb}\) | 4n + 2 |
| dell'attinio | \(^{235}\mathrm{U}\) | 704 milioni di anni | \(^{207}\mathrm{Pb}\) | 4n + 3 |
| del torio | \(^{232}\mathrm{Th}\) | 14,1 miliardi di anni | \(^{208}\mathrm{Pb}\) | 4n |
La quarta serie possibile (4n + 1, da \(^{237}\mathrm{Np}\)) si è estinta: il capostipite ha \(T_{1/2}\) di soli 2,1 milioni di anni. Nella serie dell'uranio compare il radon-222, un gas nobile radioattivo che, essendo gassoso, può risalire dal terreno e accumularsi negli ambienti chiusi: è la principale fonte di esposizione naturale della popolazione, e per questo se ne misura la concentrazione negli edifici, con normative e rimedi tecnici ben definiti (aerazione, vespai ventilati).
Nella simulazione della sezione successiva si può percorrere passo per passo l'intera serie dell'uranio, osservando lo spostamento del nuclide sulla tabella \((N,Z)\) a ogni decadimento.
Reazioni nucleari: fissione e fusione
La curva dell'energia di legame indica due strade per liberare energia dai nuclei: spezzare i nuclei pesanti o unire quelli leggeri. Sono processi fisicamente opposti, con condizioni di innesco e problemi tecnologici completamente diversi.
4.1 Reazioni nucleari e bilancio energetico
Una reazione nucleare si scrive come una reazione chimica, ma conservando \(A\) e \(Z\):
Il Q-valore misura l'energia liberata:
Se \(Q>0\) la reazione è esoenergetica (libera energia, la massa totale diminuisce); se \(Q<0\) è endoenergetica e richiede energia in ingresso. Equivalentemente, \(Q\) è la differenza fra le energie di legame totali dei prodotti e dei reagenti.
4.2 Fissione nucleare
Nel 1938 Hahn e Strassmann trovarono bario fra i prodotti di uranio bombardato con neutroni; Lise Meitner e Otto Frisch ne diedero l'interpretazione: il nucleo si era spezzato in due frammenti di massa confrontabile. Il meccanismo tipico è:
Il nucleo composto \(^{236}\mathrm{U}^*\) è fortemente eccitato: oscilla, si deforma, e quando la deformazione è tale che la repulsione coulombiana fra le due "gobbe" prevale sull'attrazione nucleare a corto raggio, si scinde. È il modello a goccia di liquido: un nucleo pesante si comporta come una goccia carica che, oltre una certa deformazione, si divide.
Caratteristiche importanti:
- La fissione è asimmetrica: i frammenti hanno tipicamente \(A \approx 95\) e \(A \approx 140\), non \(A \approx 118\) ciascuno.
- Vengono emessi 2 o 3 neutroni (in media 2,4 per il \(^{235}\mathrm{U}\)): è ciò che rende possibile la reazione a catena.
- Si liberano circa 200 MeV per fissione, di cui l'80% circa come energia cinetica dei frammenti, il resto in neutroni, gamma e successivi decadimenti beta.
- I frammenti sono ricchi di neutroni rispetto alla valle di stabilità e quindi radioattivi β⁻: sono le "scorie" ad alta attività, il vero problema tecnologico dei reattori.
- Il \(^{235}\mathrm{U}\) fissiona con neutroni lenti (termici, ~0,025 eV), il \(^{238}\mathrm{U}\) solo con neutroni molto veloci; l'uranio naturale contiene solo lo 0,72% di \(^{235}\mathrm{U}\).
Fissione indotta da neutrone: formazione del nucleo composto, deformazione, scissione.
4.3 Reazione a catena e massa critica
I neutroni emessi da una fissione possono provocarne altre. Si definisce il fattore di moltiplicazione \(k\) come il numero medio di neutroni, prodotti in una generazione, che riescono a produrre una nuova fissione nella generazione successiva. Si distinguono tre regimi:
La catena si spegne: ogni generazione ha meno fissioni della precedente. È lo stato di un reattore spento o di un pezzo di uranio troppo piccolo.
Il numero di fissioni resta costante nel tempo: potenza stabile. È la condizione di funzionamento normale di un reattore.
Le fissioni crescono esponenzialmente. Nei reattori si usa una leggera sopracriticità controllata per aumentare la potenza.
Il valore di \(k\) dipende da tre fattori: la quantità di materiale fissile presente, la sua geometria e la presenza di sostanze che assorbono o rallentano i neutroni. Se il pezzo di materiale è piccolo, molti neutroni escono dalla superficie prima di incontrare un nucleo: poiché il volume cresce come \(R^3\) e la superficie come \(R^2\), esiste una dimensione minima oltre la quale le perdite diventano trascurabili. La quantità corrispondente si chiama massa critica. Per il \(^{235}\mathrm{U}\) puro in forma sferica è dell'ordine di qualche decina di chilogrammi, e si riduce molto se il materiale è circondato da un riflettore di neutroni.
Perché un reattore non può esplodere come un ordigno
È una domanda legittima e ha una risposta puramente fisica. Un'esplosione nucleare richiede materiale fissile altamente arricchito (oltre il 90% di \(^{235}\mathrm{U}\)) assemblato in una geometria supercritica in tempi di microsecondi. Il combustibile di un reattore commerciale è arricchito al 3–5%: con questa composizione la catena rapida non può svilupparsi, indipendentemente da come il materiale venga disposto. Gli incidenti gravi nei reattori sono stati eventi di natura diversa — esplosioni chimiche di idrogeno, fusione del nocciolo per mancata rimozione del calore residuo — con conseguenze serie ma con un meccanismo fisico distinto da quello di un'esplosione nucleare.
4.4 Fusione nucleare
Nella fusione due nuclei leggeri si uniscono in uno più pesante, risalendo la curva dell'energia di legame dal lato sinistro. La reazione più accessibile è quella deuterio-trizio:
L'energia liberata per singola reazione (17,6 MeV) è dieci volte minore che nella fissione, ma le masse coinvolte sono molto più piccole: per unità di massa la fusione libera circa quattro volte più energia.
La barriera coulombiana
Perché due nuclei si fondano devono avvicinarsi a distanze dell'ordine del fermo, dove agisce la forza forte. Ma sono entrambi positivi e si respingono. L'energia potenziale elettrica a \(r \approx 3\) fm vale
Un'energia cinetica media di questo ordine corrisponderebbe, con \(\bar{E}_k = \tfrac{3}{2}k_BT\), a temperature di miliardi di kelvin. In pratica bastano temperature dell'ordine di \(10^7\)–\(10^8\) K, per due motivi: la distribuzione di Maxwell-Boltzmann garantisce comunque una coda di particelle molto più veloci della media, e soprattutto interviene di nuovo l'effetto tunnel, che consente l'attraversamento della barriera anche a energie inferiori.
La fusione nelle stelle
Nel Sole la fusione avviene tramite la catena protone-protone, il cui bilancio complessivo è
La temperatura al centro del Sole è di circa 15 milioni di kelvin. Ciò che rende possibile la reazione su tempi lunghissimi non è tanto la temperatura quanto l'enorme densità (circa 150 volte quella dell'acqua) e il confinamento gravitazionale: la gravità della stella tiene il plasma compresso per miliardi di anni. Il primo passo della catena, \(p + p \rightarrow\ ^2\mathrm{H} + e^+ + \nu_e\), coinvolge l'interazione debole ed è estremamente lento: è proprio questa lentezza a far sì che il Sole bruci gradualmente invece di consumarsi in un lampo.
Il Sole converte circa 4,3 milioni di tonnellate di massa in energia ogni secondo, pur mantenendo un'esistenza stabile da 4,6 miliardi di anni.
Perché è difficile realizzarla sulla Terra
Sulla Terra non disponiamo del confinamento gravitazionale, quindi occorre soddisfare contemporaneamente tre condizioni, sintetizzate nel criterio di Lawson: temperatura sufficientemente alta (oltre \(10^8\) K per il D-T), densità del plasma adeguata e tempo di confinamento abbastanza lungo perché l'energia prodotta superi quella spesa. Le difficoltà concrete sono:
- A quelle temperature la materia è plasma completamente ionizzato: nessun materiale può contenerla per contatto.
- Il confinamento magnetico (tokamak, stellarator) usa campi magnetici intensi per tenere il plasma lontano dalle pareti, ma il plasma sviluppa instabilità difficili da controllare.
- Il confinamento inerziale comprime una microsfera di combustibile con impulsi laser, ma richiede simmetria estrema.
- I neutroni da 14 MeV danneggiano i materiali della camera e li rendono a loro volta radioattivi, per quanto con tempi di dimezzamento assai più brevi rispetto ai prodotti di fissione.
- Il trizio non esiste in natura in quantità utili e va prodotto, tipicamente da litio.
Al 2020 esperimenti come JET e NIF hanno raggiunto e superato la condizione di pareggio energetico sul bersaglio, mentre ITER è in costruzione per dimostrare un guadagno netto significativo. La fusione controllata resta un obiettivo di ricerca a lungo termine: è corretto descriverla come promettente sul piano fisico e ancora non risolta su quello ingegneristico.
| Fissione | Fusione | |
|---|---|---|
| Combustibile | \(^{235}\mathrm{U}\), \(^{239}\mathrm{Pu}\) — risorse limitate | deuterio (dall'acqua), trizio (da litio) |
| Innesco | un neutrone lento, a temperatura ambiente | temperature di \(10^8\) K |
| Energia per reazione | ~200 MeV | 17,6 MeV (D-T) |
| Energia per nucleone | ~0,85 MeV | ~3,5 MeV |
| Prodotti | frammenti β⁻ a lunga vita | elio (stabile) + neutroni |
| Stato tecnologico | in uso dal 1954 | in fase sperimentale |
Applicazioni
Le stesse leggi fisiche viste finora si ritrovano in contesti molto diversi: la produzione di energia elettrica, la diagnostica medica, la datazione archeologica, la misura dell'esposizione alle radiazioni. In questo modulo distinguiamo con cura il fenomeno fisico dalle valutazioni tecnologiche, sanitarie e sociali che lo accompagnano.
5.1 Il reattore nucleare a fissione
Un reattore è una macchina che mantiene una reazione a catena in condizioni di criticità stazionaria (\(k=1\)) e ne converte il calore in energia elettrica. I componenti essenziali sono:
| Componente | Funzione fisica | Materiali tipici |
|---|---|---|
| Combustibile | fornisce i nuclei fissili | UO₂ arricchito al 3–5% in \(^{235}\mathrm{U}\) |
| Moderatore | rallenta i neutroni veloci fino a energie termiche, dove la probabilità di fissione del \(^{235}\mathrm{U}\) è molto maggiore | acqua leggera, acqua pesante, grafite |
| Barre di controllo | assorbono neutroni: inserendole si abbassa \(k\), estraendole lo si alza | boro, cadmio, argento-indio-cadmio |
| Refrigerante | asporta il calore prodotto e lo porta ai generatori di vapore | acqua in pressione, elio, sodio liquido |
| Schermo e contenimento | trattiene radiazione e materiale radioattivo | acciaio, calcestruzzo armato |
Il moderatore agisce per urti elastici: un neutrone cede la frazione massima di energia urtando contro un nucleo di massa simile alla propria, motivo per cui l'idrogeno dell'acqua è un moderatore efficace. Servono circa venti urti per portare un neutrone da 2 MeV a 0,025 eV.
Il controllo fine è possibile grazie a un dettaglio decisivo: circa lo 0,65% dei neutroni di fissione sono neutroni ritardati, emessi con ritardi da frazioni di secondo a decine di secondi dai prodotti di fissione. Senza di essi il tempo caratteristico della catena sarebbe di millesimi di secondo e nessun sistema meccanico potrebbe intervenire; i reattori sono progettati per essere critici solo grazie ai neutroni ritardati, il che porta i tempi di risposta a scale di secondi.
Il bilancio energetico è impressionante: la fissione completa di 1 g di \(^{235}\mathrm{U}\) libera circa \(8\cdot10^{10}\) J, quanto la combustione di circa 2,5 tonnellate di carbone. Il rovescio è la produzione di scorie ad alta attività (i frammenti di fissione β⁻), che richiedono isolamento per tempi lunghi, e la gestione del calore di decadimento residuo anche a reattore spento. Sono problemi ingegneristici e di governo del rischio reali, che vanno discussi con dati, non un aspetto misterioso della fisica.
5.2 Medicina nucleare
L'uso medico delle radiazioni si divide in due ambiti con obiettivi opposti.
Radiodiagnostica
Si somministra al paziente un radiofarmaco: una molecola che si concentra in un organo o in un tessuto specifico, marcata con un radionuclide che emette radiazione penetrante e viene rivelata dall'esterno. I criteri di scelta sono fisici:
- emissione gamma (penetrante, esce dal corpo) e non alfa, che cederebbe tutta l'energia ai tessuti senza fornire informazione;
- tempo di dimezzamento breve, di ore, in modo che l'attività si annulli poco dopo l'esame;
- chimica adatta a legarsi al tracciante desiderato.
Il nuclide più usato è il tecnezio-99m (\(T_{1/2}=6\) ore), un isomero metastabile che decade emettendo un gamma da 140 keV senza cambiare \(Z\) né \(A\). Nella PET (tomografia a emissione di positroni) si usano invece emettitori β⁺ come il fluoro-18 (\(T_{1/2}=110\) minuti): il positrone emesso si annichila quasi subito con un elettrone del tessuto producendo due fotoni da 511 keV emessi in direzioni opposte, la cui rivelazione in coincidenza permette di ricostruire il punto di emissione con grande precisione.
Radioterapia
Qui l'obiettivo è opposto: depositare energia in modo mirato per danneggiare il DNA delle cellule tumorali, che si riproducono rapidamente e riparano i danni meno efficacemente delle cellule sane. Si usano fasci esterni di raggi X ad alta energia o di gamma (storicamente da cobalto-60), oppure sorgenti collocate a contatto con il tessuto (brachiterapia). L'adroterapia con protoni e ioni carbonio sfrutta il picco di Bragg: le particelle cariche pesanti rilasciano la maggior parte dell'energia a una profondità ben definita, che dipende dall'energia del fascio, risparmiando i tessuti a monte e a valle.
In entrambi gli ambiti l'esposizione è quantificata, giustificata e ottimizzata: è un bilancio esplicito fra beneficio diagnostico o terapeutico e dose somministrata, non un rischio accettato alla cieca.
5.3 Datazione con il carbonio-14
Nell'alta atmosfera i neutroni prodotti dai raggi cosmici reagiscono con l'azoto:
Il \(^{14}\mathrm{C}\) prodotto si ossida a CO₂ e si distribuisce nella biosfera. Finché un organismo è vivo, scambia carbonio con l'ambiente e mantiene il rapporto \(^{14}\mathrm{C}/^{12}\mathrm{C}\) costante, pari a circa \(1{,}3\cdot10^{-12}\). Alla morte lo scambio cessa e il \(^{14}\mathrm{C}\) comincia a decadere senza essere rimpiazzato:
Misurando l'attività residua per grammo di carbonio e confrontandola con quella di un campione vivente (circa 0,25 Bq/g) si ricava il tempo trascorso:
Il metodo è affidabile fino a circa 50 000–60 000 anni: oltre, l'attività residua è troppo bassa per essere distinta dal fondo. Richiede inoltre calibrazione, perché la produzione di \(^{14}\mathrm{C}\) non è stata rigorosamente costante nel tempo. Per intervalli geologici si usano altre coppie con tempi di dimezzamento adeguati, come uranio-piombo (\(4{,}47\cdot10^{9}\) anni) o potassio-argon.
5.4 Dosimetria e rischi delle radiazioni ionizzanti
L'attività (Bq) descrive la sorgente; per descrivere l'effetto su un organismo servono altre grandezze.
| Grandezza | Definizione | Unità |
|---|---|---|
| Dose assorbita \(D\) | energia ceduta per unità di massa: \(D = E/m\) | gray, 1 Gy = 1 J/kg |
| Dose equivalente \(H\) | \(H = w_R\,D\), pesa il tipo di radiazione | sievert (Sv) |
| Dose efficace | somma pesata sugli organi irraggiati | sievert (Sv) |
Il fattore \(w_R\) vale 1 per raggi X, gamma e beta, circa 20 per le particelle alfa: a parità di energia ceduta, le alfa producono ionizzazione molto più concentrata lungo il percorso e quindi danno biologico maggiore. Ecco perché una sorgente alfa è innocua a distanza ma va evitata l'assunzione interna.
Alcuni ordini di grandezza, utili per collocare i numeri in un contesto:
| Situazione | Dose efficace indicativa |
|---|---|
| Fondo naturale medio in Italia | ~2,4 mSv all'anno |
| Radiografia del torace | ~0,02 mSv |
| TAC dell'addome | ~10 mSv |
| Volo intercontinentale | ~0,03 mSv |
| Limite per lavoratori esposti (media annua) | 20 mSv |
| Soglia di sindrome acuta da radiazioni (dose singola) | ~1000 mSv |
Circa l'85% della dose media ricevuta dalla popolazione ha origine naturale: radon negli edifici, radiazione cosmica, radionuclidi nel suolo e negli alimenti (soprattutto potassio-40). La radioattività non è quindi un'introduzione artificiale nell'ambiente, ma una componente permanente della biosfera in cui la vita si è evoluta.
Come ragionare sul rischio, in termini fisici
Per dosi elevate e acute (sopra circa 500 mSv in tempi brevi) gli effetti sono deterministici: si manifestano con certezza sopra una soglia e la gravità cresce con la dose. Per dosi basse gli effetti considerati sono stocastici: non c'è una soglia certa, e si assume in via cautelativa che la probabilità di danno cresca linearmente con la dose. Questo modello, detto lineare senza soglia, è uno strumento conservativo di radioprotezione, non una misura diretta del rischio individuale a basse dosi, che è difficile da rilevare statisticamente.
Le tre grandezze su cui si agisce concretamente sono sempre le stesse: tempo di esposizione, distanza dalla sorgente (l'intensità decresce come \(1/r^2\)) e schermatura. È un problema quantitativo, affrontabile con gli strumenti di questo corso, e come tale va discusso: né minimizzato né drammatizzato.
5.5 Altre applicazioni in breve
- Sterilizzazione di strumenti chirurgici e conservazione di alimenti mediante gamma: la radiazione uccide i microrganismi senza rendere radioattivo il prodotto irraggiato.
- Traccianti industriali per individuare perdite in condutture o studiare l'usura dei materiali.
- Generatori termoelettrici a radioisotopi (RTG), che sfruttano il calore del decadimento del plutonio-238 per alimentare sonde spaziali dove i pannelli solari sono inutilizzabili.
- Rivelatori di fumo a ionizzazione, basati su una sorgente alfa di americio-241 di attività bassissima.
- Analisi per attivazione neutronica, che identifica elementi in tracce in reperti archeologici e campioni forensi.
Laboratorio virtuale
Simulazioni interattive
Tre esperimenti numerici per vedere in azione i concetti del corso. I modelli sono semplificati ma rispettano le relazioni fisiche descritte nella teoria.
A. Nucleo instabile che decade
Scegli un nuclide e osserva il decadimento: la particella emessa è disegnata con il colore del suo tipo, i contatori di \(Z\) e \(A\) si aggiornano e il nuclide si sposta sulla tabella semplificata \((N,Z)\). Con "Serie dell'uranio" puoi percorrere l'intera catena da \(^{238}\mathrm{U}\) a \(^{206}\mathrm{Pb}\).
Tabella dei nuclidi (semplificata)
Ogni casella è un nuclide; l'asse orizzontale riporta il numero di neutroni \(N\), quello verticale il numero di protoni \(Z\). La banda scura indica i nuclidi stabili (valle di stabilità). La traccia mostra il cammino percorso dai decadimenti.
Osserva la regola geometrica: un decadimento α sposta il nuclide di due caselle in basso e due a sinistra; un β⁻ di una casella in alto e una a sinistra (un neutrone diventa protone); un β⁺ di una in basso e una a destra. Il decadimento γ non muove il nuclide: cambia solo il suo stato di eccitazione.
B. Legge del decadimento radioattivo
Il grafico mostra \(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\) e si aggiorna in tempo reale con i cursori. Attivando la simulazione statistica, ogni nucleo del campione decade in modo casuale con probabilità \(\lambda\,\Delta t\): la curva sperimentale (punti) fluttua attorno a quella teorica, tanto meno quanto più grande è il campione.
In scala logaritmica la curva esponenziale diventa una retta di pendenza \(-\lambda/\ln 10\): è così che si ricava sperimentalmente il tempo di dimezzamento da una serie di misure di attività.
C. Reazione a catena di fissione
I cerchi chiari sono nuclei di \(^{235}\mathrm{U}\) non ancora fissionati. Un neutrone che colpisce un nucleo provoca una fissione, che emette in media 2,4 neutroni; una parte di essi viene però assorbita dalle barre di controllo o sfugge dal nocciolo. Il cursore regola questa frazione, e con essa il fattore di moltiplicazione \(k\).
Fissioni per generazione
Con la densità di combustibile al 70%, la soglia di criticità cade attorno al 47% di assorbimento. Oltre il 55% la catena si spegne dopo poche generazioni (\(k<1\)); attorno al 47–50% la popolazione di neutroni si mantiene all'incirca costante (\(k\approx1\)), come in un reattore in funzionamento stazionario; sotto il 40% la crescita diventa rapidissima (\(k>1\)). Abbassando la densità dei nuclei fissili la soglia si sposta, perché aumentano i neutroni che attraversano il nocciolo senza incontrare nulla: è l'effetto che, su scala reale, definisce la massa critica.
Due osservazioni importanti. Primo: anche con \(k>1\) può capitare che il singolo neutrone iniziale non incontri alcun nucleo e la catena si spenga subito — il processo è statistico, ed è il motivo per cui i reattori reali vengono avviati con una sorgente di neutroni e non con un neutrone alla volta. Se non succede nulla, immetti un altro neutrone. Secondo: esaurendosi il combustibile, anche una configurazione inizialmente sopracritica finisce per spegnersi; nella realtà è il motivo per cui il combustibile va periodicamente sostituito.
Problemi
Esercizi guidati
Dodici problemi a difficoltà crescente. Ogni esercizio offre suggerimenti progressivi: usali solo dopo aver provato da solo. Inserisci il risultato numerico con la precisione richiesta; è accettata una tolleranza del 2%.
Costanti utili
\(1\ \mathrm{u} = 1{,}66054\cdot10^{-27}\ \mathrm{kg} = 931{,}494\ \mathrm{MeV}/c^2\) · \(m_p = 1{,}007276\ \mathrm{u}\) · \(m_n = 1{,}008665\ \mathrm{u}\) · \(m_e = 0{,}000549\ \mathrm{u}\) · \(m(^{1}\mathrm{H}) = 1{,}007825\ \mathrm{u}\) · \(N_A = 6{,}022\cdot10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}\) · \(\ln 2 = 0{,}693\) · \(1\ \mathrm{MeV} = 1{,}602\cdot10^{-13}\ \mathrm{J}\)
Verifica
Quiz
Ogni modulo ha il proprio quiz: 10 domande di teoria e 5 problemi numerici, con correzione immediata e spiegazione. Al termine dei cinque moduli è disponibile il quiz finale di riepilogo, che invece corregge tutto solo alla fine.
In tutti i quiz l'ordine delle opzioni viene rimescolato a ogni tentativo: la risposta corretta non si trova mai nella stessa posizione. Conviene quindi ragionare sul contenuto, non sulla posizione.